分数因式分解的方法与技巧

分数因式分解的方法和技巧如下：

1. 求出分母的质因数分解式。例如，如果分母是 $20$，则可以将其分解为 $2^2\times 5$。

2. 将分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分数变为最简形式。例如，如果分数是 $\frac{12}{20}$，则可以将其化简为 $\frac{3}{5}$。

3. 将分子中每个因数与分母中不含该因数的部分组合起来，然后把它们全部加在一起。例如，对于分数 $\frac{8}{15}$，可以将其写成 $\frac{4}{5} + \frac{4}{3\times 5}$。

4. 将新得到的分数继续进行分解，直到无法再分解为止。例如，对于分数 $\frac{4}{3\times 5}$，可以将其进一步分解为 $\frac{2}{3\times 5}\times 2$。

5. 将得到的分数因式写成积的形式。例如，对于分数 $\frac{8}{15}$，可以将其分解为 $\frac{4}{5}\times (2/3)$，然后进一步化简为 $\frac{4}{5}\times \frac{2}{3}$，即 $\frac{8}{15}$ 的因式分解式为 $\frac{4}{5}\times \frac{2}{3}$。

需要注意的是，因式分解可能不止一种，而且有些分数可能无法进行因式分解。在进行分解时，需要仔细地观察和思考，并注意简化分数和约分的步骤。