连续函数的概念与性质

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

法则

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

连续函数

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。

有界性

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。

依次取n=1、2、3、……，得到一个数列{xn}⊂[a,b]。显然，{xn}是有界的，则根据致密性定理，存在一个收敛子列 。记 ，由 及数列极限的保不等式性可知，a≤x0≤b（即x0∈[a,b]）。

又由归结原则和函数在点x0的连续性可知，

另一方面，由{xn}的选取方法可知， ，于是当k→∞时， ，矛盾！

所以假设不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。

同理可证f(x)在[a,b]上必有下界，从而f(x)在[a,b]上有界[1] 。

最值性

闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。

所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。

由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。

设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M

若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a,b]，都有f(x)<M。

令 ，由连续函数的四则运算法则可知g(x)在[a,b]上是连续函数，故g(x)在[a,b]上有上界，设为G。则 。

整理该式子得 ，这与M是f([a,b])的上确界相矛盾，因此存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M。由上确界的定义可知，M是f(x)的最大值。

同理可证f(x)有最小值。

介值性

若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。

这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：

（1）零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。

证明：零点定理可以利用闭区间套定理：如果{[an,bn]}是一个闭区间套，那么存在唯一实数ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。

介值定理可以构造辅助函数来证明。