数学期望的十种性质

以下是数学期望的十种性质：

1. 线性性：设$X$和$Y$为两个随机变量，$a$和$b$为常数，则有$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。

2. 非负性：对于任意的随机变量$X$，有$E(X) ≥ 0$。

3. 单调性：若$X$和$Y$为两个随机变量，且$X ≤ Y$，则$E(X) ≤ E(Y)$。

4. 加法性：若$X$和$Y$为两个不相关的随机变量，则有$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$。

5. 常数性：对于任意常数$c$，有$E(c) = c$。

6. 等概率加权平均性：若$X$为一个离散型随机变量，$x_1, x_2,\cdots,x_n$为其所有可能取值，则有$E(X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} x_i$。

7. 随机变量函数性：设$g$为一个实值函数，则有$E(g(X)) = \sum\limits_{x} g(x)P(X=x)$，其中$x$为$X$的取值。

8. 期望的可加性：对于多个随机变量$X_1, X_2, \cdots,X_n$，有$E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)$。

9. Jensen不等式：设$X$为一个随机变量，$g$为凸函数，则有$E(g(X)) \geq g(E(X))$。

10. 极小值与极大值性：对于随机变量$X$和$Y$，有$min(X,Y) \leq E(X+Y) \leq max(X,Y)$。

数学期望（也称为均值）作为概率论和数理统计中的一个重要概念，在计算中具有以下十种性质：

1. 线性性：若X和Y是两个随机变量，a和b是任意两个实数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。即数学期望有可加性和可乘性。

2. 非负性：对任何非负随机变量X而言，数学期望E(X)必定大于等于0。

3. 单调性：如果X是一个随机变量，且对于任何$X_1≤X_2$的情况，有$E(X_1)≤E(X_2)$。

4. 可加性：如果X和Y是两个互相独立的随机变量，则有：E(X+Y)=E(X) +E(Y)。

5. 常数乘法：如果X是一个随机变量，a是任意一个固定常数，则有：E(aX)=aE(X)。

6. 鞅性：如果S是一个固定时期的鞅，则有：E(S_T)=S_t。

7. 稳定性：如果X和Y都是随机变量,则有 E（X+Y）= E（X）+ E（Y）。

8. 传递性：如果X、Y是两个随机变量且X ≤Y， Z是另一随机变量，则有 E(X) ≤ E(Z) ≤ E(Y)。

9. 有限可加性：如果X1,X2,…,Xn是一些互相独立的随机变量，且E(Xi)存在，则有 E($\sum_{i=1}^n X_i$)= $\sum_{i=1}^nE(X_i)$。

10. 刻画方法：数学期望是在所有具有相同随机分布的函数中，使函数取值与分布概率乘积之和最大的函数值。

期望的性质：

1、设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）。

2、设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）。

3、设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。

4、设C为常数，则E（C）=C。

期望的应用：

1、在统计学中，想要估算变量的期望值时，用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。

2、在概率分布中，数学期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。

3、在古典力学中，物体重心的算法与期望值的算法近似。