一阶线性微分方程的通解公式

形如：

F(x, y, y') = 0 ①

的方程，被称为一阶微分方程，其中 x 是自变量，y 是 x 的未知函数，y' 是 y 的导函数。

如果 函数 y = φ(x) 使得，

F(x, φ(x), φ'(x)) = 0

则称 该函数 为 ① 的一个解。

将 y' 从 ① 中 提取出来，表示为：

y' = f(x, y)

被称为 解出导函数的微分方程。

进而，如果 f(x, y) = p(x)y + q(x)，则 方程 变成：

y' = p(x)y + q(x) ②

被称为 一阶线性微分方程。令 q(x) = 0 ，得到方程：

y' = p(x)y ②'

被称为 一阶齐次线性微分方程，而 ② 被称为 一阶非齐次线性微分方程。

为什么 ②' 叫做 齐次，而 ② 不是 呢？

齐次：多项式各项 的未知元 次数 相同。

因为 ②' 各项 y' 和 p(x)y 中，未知函数 y 的 次数 都是 1，即，各项未知元次数平齐；而 ② 的项 q(x) = q(x)y⁰ 中 y 的次数 是 0，不同与 另外 两项 中 y 的次数 1 ，即，各项未知元次数不平齐。

对于，一阶齐次线性微分方程，有，

等式两边关于 x 积分，有，

再令，c = ±eᒼ ，最终得到 齐次方程通解：

由 常数 C 是任意实数，得到 常数 c 是不等 0 的 任意实数，而 c = 0 时，y = 0 ，因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y， 是方程的 解，故 常数 c 同样为 任意实数。

将 齐次方程通解 中的 常数 c 变异为 x 的函数 c(x)，得到：

再代入 非齐次方程 ② 有，

结果，代入前面等式， 再将 C 改为 c，最终得到 非齐次方程通解：

以上，求解 非齐次方程 通解 的方法，称为 常数变异法。

有些 微分方程 虽然表面上看，不是 一阶线性微分方程，但其实 都是 ② 中 y 被换元 的结果。例如，令，

代入 ② 有，

令，P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n)，得到：

这被称为，伯努利微分方程。我们只需要求出 对应的 一阶线性微分方程：

的通解：

就可以得到 伯努利微分方程 的通解：

解出导函数的微分方程 中 如果 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y)，并将 y' 表示为 微分形式 dy/dx 则方程变形为：

dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)

即，

P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0 ③

若，存在 函数 u(x, y) 使得，

P(x, y) = ∂u(x, y) /∂x , Q(x, y) = ∂u(x, y) /∂y

则，根据 全微分，有，

d u(x, y) = (∂u(x, y)/∂x) dx + (∂u(x, y) /∂y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0

等式两边 关于 u 积分 得到：

∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u

即，

u(x, y) = c

规定 u 有 连续偏导数，则 根据隐函数定理，解 y = φ(x) 存在。

由前面的要求，有：

∂P(x, y)/∂y = ∂²u(x, y) /∂x∂y = ∂²u(x, y) /∂y∂x = Q(x, y)/∂x

即，

∂P/∂y = ∂Q/∂x

称满足上面 恰当条件的 微分方程 ③ 为 恰当微分方程。

有时候，微分方程 ③ 不满足 恰当条件，我们可以 在等式 两边 乘以 积分因子 μ(x, y)，得到：

μ(x, y)P(x, y) dx + μ(x, y)Q(x,y) dy = 0 ③'

这时 恰当条件 变为：

∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x

P∂(μ)/∂y + μ∂P/∂y = Q∂μ/∂x + μ∂Q/∂y

整理，得到：

P∂(μ)/∂y - Q∂μ/∂x = (∂Q/∂y - ∂P/∂y)μ

这是一个偏微分方程，从中 解出 μ 再代回 ③' 寻找 全微分 求解。

一阶线性微分方程 ② 可以变形为：

-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0

令，P(x, y) = -(p(x)y + q(x)), Q(x, y) = 1 就变成 了 ③ 的形式，但，

∂P/∂y = -p(x) ≠ 0 = ∂Q/∂x

于是，我们需要添加 积分因子，

μ = e^{-∫ p(x) d x}

这样以来，需要求解的方程为，

-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0

满足，条件：

∂(μP)/∂y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ∂(μQ)/∂x

又，因为，

∂u/∂x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} - p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))

∂u/∂y = e^{-∫ p(x) dx}

所以 u(x, y) 就是 需要求解的方程 的 解。从 u(x, y) 其中 解出 y 与前面的 结果完全一致。

一阶非齐次线性方程的通解，可以变形为：

其中， ỹ 就是 对应 齐次方程的通解，而 y₀ 为 一个非齐次方程 的特解，也就是说：

一阶非齐次线性方程的通解 为 非齐次的一个特解 与 齐次的通解 之和。

注：可以证明，这个结论，对于高阶非齐次线性方程 同样适用。

再回看前面 常数变异法 发现 中间步骤，

如果，令，

则，得到方程 ④：

从中，可以求得 c'(x)，于是，一阶非齐次线性方程的通解为：

其中，ỹ₀ 是一阶齐次线性方程的特解。通解 ỹ = cỹ₀ 其实 是 ỹ₀ 的线性组合。

也是时说，我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ỹ₀，然后 从 方程 ④' 求出 待定函数 c'(x) 就可以 一阶非齐次线性方程的通解了。

注：这个求解过程，可以推广到 高阶非齐次线性方程。

例如，当 一阶线性非齐次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常数时，相应方程，

y' + ay = b

被称为 一阶常系数微分方程，其 对应齐次常系数微分方程，

y' + ay = 0

的特解为

ỹ₀ = e⁻ᵃˣ

由方程 ④ ，求得：

c'(x) = b/ỹ₀

于是，最终得到 一阶常系数微分方程 的通解为：

y = ỹ₀∫ b/ỹ₀ dx + cỹ₀ = e⁻ᵃˣ∫ beᵃˣ dx + ce⁻ᵃˣ = ce⁻ᵃˣ + b/a

一阶线性微分方程 既是 一阶微分方程 又是 线性微分方程，因此从中 可以看出 两种理论的 影子，由于篇幅有限，也害怕跑题太远，这里并没有 展开 这些精彩的理论，以后有机会再说！

(补充：2020/4/18)

为什么 ② 被称为 线性呢？

线性来自于，② 的齐次方程 对应的 算子：

F(y) = y' - p(x)y

可以保持 函数的 线性运算，即，

保持加法： F(y + z = (y + z)' - p(x)(y + z) = y' + z' - p(x)y - p(x)z = y' - p(x)y + z' - p(x)z = F(y) + F(z)

保持数乘：F(cy) = (cy)' - p(x)(cy) = cy' - cp(x)y = c(y' - p(x)y) = cF(y)

其中，y, z 都是任意可微函数，c 是常数。