如何用不动点求数列的通项公式

1、求数列的通项的基本方法有累加法和累乘法,等差数列与等比数列的通项公式就分别由累加法与累乘法对应得到的。

2、对于函数 ，若存在实数 ，使得 ，则称是函数 的(一阶)不动点。

3、同样地，若 ，则称 是函数 的二阶不动点。容易发现，对于一阶不动点，有，大此一阶不动点必然是二阶不动点。

4、在几何上，曲线 与曲线 的交点的横坐标即为函数 的不动点。一般地，数列 的递推式可以由公式 给出，大此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列 ，若其递推式为 ，且存在实数 ，使得 ，则称 是数列 的不动点。

結论一：

当Δ>0，通项公式会因首项与一元二次方程的两个根是否相同而有形式的明显不同！

当首项与一元二次方程的两个根相等，通项公式全是与首项相等的常数列.

当首项与一元二次方程的两个根不相等，通项公式是分子与分母都为指数函数的分式，且后一项的分母是前一项的分子（不通分的情况下）.

结论二：

当Δ=0，通项公式会因首项与一元二次方程唯一的根在大小的较量上不光有形式上的不同，还有不存在的可能！

当首项小于一元二次方程的根，通项公式在某项中不存在！

当首项等于一元二次方程的根，通项公式全是与首项相等的常数列.

当首项大于一元二次方程的根，通项公式是通过反比例函数偏移后的函数，且后一项的分母是前一项的分子.

结论三：

当Δ<0，通项公式会因两根乘积是否为一有明显形式上的不同！

如果两根像两个互为倒数的实数一样的乘积是一，不区分因比较首项与一元二次方程的根的大小的情况，通项公式是分子与分母都为三角函数的分式且是最小周期为正整数的周期函数