1到N的平方和 立方和公式是怎么推导的

1. 平方和公式的推导：

要求1到N的平方和，可以先将平方和展开，得到

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2

然后，我们可以利用数学归纳法来推导出平方和的公式。

当N=1时，显然有1^2 = 1，成立。

假设当N=k时，平方和公式成立，即

1^2 + 2^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6

那么当N=k+1时，有

1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2

= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2

= (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]

= (k+1)(k+2)(2k+3)/6

因此，当N=k+1时，平方和公式也成立。根据数学归纳法原理，平方和公式对于任意正整数N都成立。

2. 立方和公式的推导：

要求1到N的立方和，可以先将立方和展开，得到

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3

然后，我们可以利用数学归纳法来推导出立方和的公式。

当N=1时，显然有1^3 = 1，成立。

假设当N=k时，立方和公式成立，即

1^3 + 2^3 + ... + k^3 = [k(k+1)/2]^2

那么当N=k+1时，有

1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3

= [k(k+1)/2]^2 + (k+1)^3

= [(k+1)^2(k^2+k+1)]/4

因此，当N=k+1时，立方和公式也成立。根据数学归纳法原理，立方和公式对于任意正整数N都成立。