sin和cos的欧拉公式

正弦函数的欧拉公式为：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)，余弦函数的欧拉公式为：cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2. 需要注意的是，虽然我们可以检验(sinx)^2+(cosx)^2=1，但却不能用这种检验法来证明这两个公式。否则就有可能会推出其它错误的结论。那这两个公式到底是怎么来的呢？

如果用逆向思维反推的话，我们可以由正弦函数的欧拉公式得到e^(ix)-e^(-ix)=2isinx；由余弦函数的欧拉公式得到e^(ix)+e^(-ix)=2cosx. 把它们看作是关于e^(ix)和e^(-ix)的二元一次方程组，两式相加可以得到e^(ix)=cosx+isinx；两式相减则得到e^(-ix)=cosx-isinx. 事实上，记f(x)=e^(ix)=cosx+isinx，那么就有f(-x)=e^(-ix)=cosx-isinx，也就是说，它们是同一个公式的两种形态。

检验e^(ix)=cosx+isinx需要运用到e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!;

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!, (n=2m);

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!, (n=2m+1).

用ix替换e^x的省略余项的麦克劳林公式中的x，就可以得到：

e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+i(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!

=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!)

=cosx+isinx.

这就证明了sin和cos的欧拉公式成立。

然而欧拉在推导公式时，却是反过来的。他是先由e^x，cosx和sinx三者省略余项的麦克劳林公式，将e^x的x替换成±ix，推出e^(ix)=cosx+isinx和e^(-ix)=cosx-isinx。再把两者看作关于sinx和cosx的二元一次方程组，从而得到sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)和cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2的。

另外，对x取π，代入e^(ix)=cosx+isinx得到e^(πi)+1=0，即e^(πi)=-1，它被誉为“上帝创造的公式”。

欧拉公式还有许多拓展，这里无法一一尽述，但是它的奇妙之处吸引了无数数学家对其进行研究，有兴趣我们也可以继续探究下去。