概形与流形区别

概形(scheme)代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间.更精确地，概形(X,Ox)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{X,. },.E}，使得(X;,Ox}X)同构于仿射概形Spec T (X; , Ox(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。

定义(X,Ox)给定一个局部戴环空间，x的一个开集v称为仿射开集，如果(X,Ox｜v)是仿射概形。一个局部戴环空间(X,Ox)称为概形，如果的每一点都有仿射开邻域，即包含的仿射开集。

直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部戴环空间的态射。

流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。 而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

　　流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间(configuration space)。环面(torus)就是双摆的位形空间。

　　如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑 结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动),该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。