微分中值定理讲解

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。

罗尔定理

内容：

如果函数f(x)满足：

在闭区间[a,b]上连续；

在开区间(a,b)内可导；

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.

几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：

弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。

拉格朗日定理

内容：

如果函数 f(x) 满足：

1)在闭区间[a,b]上连续；

2)在开区间(a,b)内可导。

那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

（或存在0<h<1，使f(b)-f(a)=f′[a+h(b-a)](b-a) 成立）

拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线

柯西定理

内容：

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

成立

中值定理分为： 微分中值定理和积分中值定理。

以上三个为微分中值定理。

定积分第一中值定理为：

f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）

注：积分中值定理可以根据介值定理推出，所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。