三垂线定理以及证明方法

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步骤1

三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

线面垂直证明，例如已知：PO 在 α 上的射影 OA 垂直于 a 。求证：OP⊥a。

证明：过 P 做 PA 垂直于 α

∵PA⊥α且a⊂α，∴a⊥PA

又a⊥OA，OA∩PA=A

∴a⊥平面POA，∴a⊥OP

步骤2

三垂线定理对任意位置的平面都成立。因为定理中并没有水平平面的限制，定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关。

因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有两种情况：一是不过斜足O的异面垂直；一是过斜足O的相交垂直，反映三垂线定理的图形有四种情况。在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的。

9小时前

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