两个矩阵相乘之后的新矩阵为什么小于等于这两个矩阵的

猪乔治 1个月前已收到1个回答举报

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有很多方法说明这个问题,这里告诉你其中一个先知道三个事实第一初等变换不改变矩阵的秩第二初等行（列）变换,相当于左（右）乘一个可逆阵.第三一个秩为r,可以只通过行（列）变换变成主对角线上只有r个1,其它全是0的方阵（这里对角线不一定是把1排完了再来排0,有可能是 1,1,0,0,1的样子）

对于AB,我们对A进行行变换,使他对角线是只有1和0的阵C,即 C=QA,Q可逆所以 A=Q逆C 同样,对B只做列变换,我们找一个可逆的P,和对角线上只有1和0的D,使B=DP逆那么AB = Q逆(CD)P逆注意中间的CD相乘后,还是主对角线为1和0的阵,且1的个数在相乘后只会少,不会多.所以相乘后的秩是减少的.

1小时前

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