斐波那契数列的求和公式

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1、奇数项求和

2、偶数项求和

3、平方求和

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

3小时前

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利用特征方程的办法（这个请自行参阅组合数学相关的书）。

设斐波那契数列的通项为An。

（事实上An = (p^n - q^n)/√5，其中p = (√5 - 1)/2, q = (√5 + 1)/2。但这里不必解它）

然后记

Sn = A1 + A2 + ... + An

由于

An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)

= S(n-1) - S(n-3)

其中初值为S1 = 1, S2 = 2, S3 = 4。

所以

Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0

从而其特征方程是

x^3 - 2x^2 + 1 = 0

即

(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0

不难解这个三次方程得

x1 = 1

x2 = p

x3 = q

（p, q值同An中的p, q）。

所以通解是

Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n

其中c1，c2，c3的值由S1，S2，S3的三个初值代入上式确定。我就不算了。

1小时前

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