排列组合的计算方法 别只是个公式 举个例子写的具体点

标准的排列组合

先看一个例子 (1)：

三个城市 A，B，C，从 A 到 B 有三条路 a₁, a₂, a₃ ，从 B 到 C 有两条路 b₁, b₂，问 从 A 到 C 有多少种走法？

解：

要 从 A 到 C 就 必须选择一条 A 到 B 的路 a 和 一条 B 到 C 的路 b，然后连成 A 到 C 的路 ab。

a 可以是 a₁, a₂, a₃ 有3种选法，b 可以是 b₁, b₂ 有3种选法，于是根据日常的经验，ab 的可能有：

所有 ab 总共有 3 × 2 = 6 种可能。

这个例子就是 乘法法则：

若具有性质 a 的事件有 m 个，具有性质 b 的事件有 n 个，则 同时具有 性质 a 和 b 的事件有 m × n 个。

因为，

令 a 的 m 个事件为 a₁, a₂, ..., a_m，b 的 n 个事件为 b₁, b₂, ..., b_m，则根据日常的经验，ab 的可能有：

乘法法则，还可以从 两项 扩展到 任意有限多项：

若具有性质 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件分别有 m₁, m₂, m₃, ..., m_n 个，则 同时具有 性质 a₁, a₂, a₃, ..., a_n 的事件有 m₁ × m₂ × m₃ × ... × m_n 个。

因为，

然后利用 两项的乘法法则，就得到：

再看一个例子 (2)：

总共有三个球 ①②③，从中挑选出两个排成一列，问有多少种挑选方案？

解：

挑出两个排成一列，分两步，

先从三个球 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第一位；

再从挑剩下的 二个球 中 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第二位；

这样就组成了 ab 的序列。构建 ab 序列的过程 和 例子 (1) 组成路线的过程 类似，因此 也 符合乘法法则。因为 a 是 3 选 1 有 3 种可能，b 是 2 选 1 有 2 种可能，所以 构建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 种可能，具体如下：

例子 (2) 就是 从 3 中取出 2 的排列，更一般地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 排成一列，称为 从 m 中取出 n 的 排列，排列的方案个数称为排列数，记为 P(n, m)。

从 m 中取出 n 的 排列的构建过程如下：

根据 乘法法则，有：

P(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

而：

n! = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1

(n-m)! = (n-m)(n-m-1)...1

故，

P(n, m) = n!/(n-m)!

比较特别的是：

从 n 中取出 n 个 的排列，就是 对 n 个元素进行各种排列，称为 全排列 ，P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!；

从 n 中取出 0 个 的排列，称为 零排列 ，P(n, 0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1；

将 例子 (2)，改为 (2')：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，问有多少种挑选方案？

解：

我们前面已经 计算出了序列 ab 的排列数 P(3, 2)，所谓不考虑顺序，也就是说，两个元素 a, b 的各种排列：ab, ba 算一种方案。

两个元素 a, b 的各种排列，就是 2 的全排列，即，P(2, 2)。于是 只需要 用 P(3, 2) 除以 P(2, 2) 就是 答案了：

P(3, 2) / P(2, 2) = 3!/((3-1)!2!) = 3

例子 (2') 就是 从 3 中取出 2 的组合，更一般地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 不考虑顺序，称为 从 m 中取出 n 的 组合，组合的方案个数称为组合数，记为 C(n, m)。

根据例子 (2') 中的分析，有：

C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = P(n, m) = n!/((n-m)!m!)

比较特别的：

从 n 中取出 n 个 的组合，C(n, n) = n!/((n-n)!n!) = n!/(0!n!) = n!/n! = 1；

从 n 中取出 0 个 的组合，C(n, 0) = n!/((n-0)!0!) = n!/(n!0!) = n!/n! = 1；

一些特殊的排列组合

考虑，问题 (3)：3 个人去饭店吃饭，围坐在一张圆桌前，问有多少种坐法？

围坐成圈不同于排成一列，这是一种新的排列方式，于是定义：

从 n 个元素 中取出 m 个元素 排成一圈，称为 圆周排列，将 圆周排列数 记为 Q(n, m)。

分析：

对于标准排列，可得到的序列：

若将序列排成一圈，

则显然，下面的 m 个排列只能算一种：

故，

Q(n, m) = P(n, m) / m

根据上面的分析结果，显然，问题(4) 的答案是 Q(3, 3) = P(3, 3) / 3 = 2，即，顺时针坐 和 逆时针左。

在排列组合中，默认挑选出来的m个元素是不能重复，但如果允许重复呢？

将 例子 (2')，改为：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，不过每次挑选时会将球的号码记录然后将球放回，问有多少种挑选方案？ (2''-1)

有两个箱子，每个箱子里装着完全相同的三个球，从每个箱子里挑选1个不考虑顺序 ，问有多少种挑选方案？ (2''-2)

(2''-1) 和 (2''-2) 本质是相同的，下面以 (2''-1) 为例。

分析：

首先，可以用穷举法。①②③ 中有放回的挑选2个球 组合，按照从小到大的排列顺序，有如下可能：

①①、②②、③③、①②、①③、②③

共有 6 种。

其次，可以将 有重复组合 转化为 无重复组合，方法如下：

对于任何一次的有重复组合结果，按照 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂

让 原来三个小球中 号码比 a₂ 大的小球的号码 都加 1， 然后 将 小球 a₂ 的号码 也加 1 并 添加到 三个小球 中。

这样以来，就将 从 3 个小球中 有放回的挑选 2 个组合 变为 从 4 个小球 中 无放回的挑选 2个组合。

具体操作如下（黑底为修改过的球）：

将 ①②③ → ①① 改为 ①❷❸❹ → ①❷

将 ①②③ → ②② 改为 ①②❸❹ → ②❸

将 ①②③ → ③③ 改为 ①②③❹ → ③❹

将 ①②③ → ①② 改为 ①②❸❹ → ①❸

将 ①②③ → ①③ 改为 ①②③❹ → ①❹

将 ①②③ → ②③ 改为 ①②③❹ → ②❹

反过来，对于从 4 个小球 ①②③④，无放回的挑选两个的组合结果，从小到大的排列顺序排列：

a₁ < a₂

让 原来 4 个小球 中 号码大于 a₂ 的小球的号码 都减 1，然后 将 a₂ 从 4 个小球 中 去除，并将 a₂ 的号码也 减 1。

这样以来，就将 从 4 个小球中 无放回的挑选 2 个组合 变为 从 3 个小球 中 有放回的挑选 2个组合。

具体操作如下（黑底为修改过的球）：

将 ①②③④ → ①② 改为 ①❷❸ → ①❶

将 ①②③④ → ①③ 改为 ①②❸ → ①❷

将 ①②③④ → ①④ 改为 ①②③ → ①❸

将 ①②③④ → ②③ 改为 ①②❸→ ②❷

将 ①②③④ → ②④ 改为 ①②③ → ②❸

将 ①②③④ → ③④ 改为 ①②③ → ③❸

上面的事实说明：

3 取 2 有重复的组合数 ≡ 4 取 2 无重复的组合数，即，C(4, 2) = 6。

将 3 取 2 的情况 扩展到 n 取 m 有：

将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列：

a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_m (4)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 以及 (4) 中 所有比 aᵢ 大的数都加 1， 然后 将 aᵢ 加 1，并将 aᵢ 添加到 被挑选数集 中取；

这样以来，就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 变为 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合。

反过来，对于 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列顺序排列：

a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_m (5)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 以及 (5) 中 所有比 aᵢ 大的数都减 1， 然后，将 aᵢ 从 被挑选数集 中删除， 并将 aᵢ 在 (5) 中也减 1；

这样以来，n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 变为 就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 。

综上，就证明了：

n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 ≡ n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合

最终结果：

从 n 个元素 中取出 m 个元素，有重复组合 的组合数为：C(n+(m-1), m)。

题目： 从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合，即，不存在包括 i 和 i + 1 的组合，问组合数是多了？

分析：

这里使用类似 有重复组合 的思路，将 不相邻组合 转化为 等价 的 标准组合。方法如下：

对于 从 A 个数 中取 m 个 的不相邻组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：

a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_m (6)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A 以及 (6) 中 所有大于 aᵢ 的数都减去 1，并将 aᵢ 从 A 删除，最后 在 (6) 中 让 aᵢ 减去 1。

这样以来，就将从 A 中取 m 个 的不相邻组合 变为 从 A’ = {1, 2, ..., n - (m-1) } 中取 m 个 的标准组合。

反过来，对于 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：

a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_m (7)

对每个 aᵢ（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A' 以及 (7) 中 所有大于 aᵢ 的数都加上 1，并将 aᵢ 也加上1 然后添加到 A' 中。

这样以来，就将 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 变成 A 中取 m 个 的不相邻组合 。

综上，就证明了：

从 A = 中取 m 个 的不相邻组合 ≡ 从 A’ 中取 m 个 的标准组合

最终结果：

从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合　的组合数为：C(n－(m-1), m)。

最后，除了以上介绍的这些较为基础的排列组合外，还有大量的排列组合问题存在，例如：

将 被选择集合 进行分类，比如：分为男女， 然后 对排列组合结果进行限制，比如：男女相等，男女相邻；

总之 排列组合的算法根据 具体问题不同而异，具体在进行解题时要发挥聪明才智，做到灵活多变，不要强行照搬套路。

由于篇幅有限，只能回答到这里了。

（本人数学水平同样有限，所以出错在所难免，非常欢迎各位老师批评指正。）