蝴蝶定理怎么整

蝴蝶定理是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究。

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP,这对2，3均成立。

设弦AB的中点为M，过M 作弦CD，EF，连EC，DF交AB于G，H，则GM=GF。这是蝴蝶定理，下面证明。

※先给出一个关于面积的定理：

△ABC的面积=（1/2）×AB×AC×sinA

证明：设△EGM、△DHM、△MHF、△MCG的面积分别为S1、S2、S3、S4，则

S1=(1/2)ME×MGsin∠EMG＝（1/2）EG×EMsin∠E

S2=(1/2)MH×MDsin∠DMH＝（1/2）MD×DBsin∠D

S3=(1/2)MH×MFsin∠HMF＝（1/2）BF×FMsin∠F

S4=(1/2)MG×MCsin∠GMC＝（1/2）CM×CGsin∠C

其中从∠EMG=∠HMF,∠DMH=∠GMC,∠E=∠D,∠F=∠C

∴sin∠EMG=sin∠HMF，sin∠DMH=sin∠GMC ,

sin∠E = sin∠D, sin∠F = sin∠C

∵（S1/S2）×（S2/S3）×（S3/S4）×（S4/S1）=1

∴｛[(1/2)ME×MGsin∠EMG]/[(1/2)MH×MDsin∠DMH]｝×

｛[（1/2）MD×DBsin∠D]/[(1/2)MH×MFsin∠HMF]｝×

｛[（1/2）BF×FMsin∠F]/[（1/2）CM×CGsin∠C]｝×

｛[(1/2)MG×MCsin∠GMC]/[（1/2）EG×EMsin∠E]｝ ＝1

整理后：

（MG的平方/MH的平方）×（DB×BF）/（EG×CG）=1…①

令(1/2)AB=a,MG=m,MH=n.由相交弦定理：

DB×BF=BH×AH=(a-n)(a+n),EG×CG=(a-m)(a+m)，代入①

并整理得：(am)的平方=(an)的平方,∵a≠0，∴m=n，

即，MG=MH