象棋怎么摆放在棋盘上

考虑棋盘位置固定，那么答案是当 时，最多 个，其摆放方式为 种

我们考虑对棋盘的每个格子定义这样一种"度"，初始值为0，每当某格子处于一个不在其中的象的攻击范围内时其"度"+1，当某格子中存在一个象时其“度”+2。

可以发现为满足要求每个格子的"度"最多为2。再考虑四个顶点的格子，若其中没有象则其"度"最多为1，而四个顶点中象的分布最多个数的情况为两个相邻顶点中有象，另外两顶点无象。因此四个顶点对应的“度“最多为 。于是考虑 的棋盘所有格子对应的"度"最多为 。

考虑某个象对于棋盘所有格子"度"的增量，假设该象所在格子距离上边、左边、下边、右边的格子数(不包括其本身)分别为 ，则有 。可以发现该象对于棋盘所有格子"度"的增量设为 ，有

注意 ，因此 ，于是 。当且仅当该象位于边缘的格子时 取到最小值 。

因此可以摆放的象的个数设为 有

有这样一组容易想到的解：某一边例如上边布满 个象，其相对的边例中下边除两个顶点外布满 个象，有 。故最多 个。

考虑这样的 的解的个数，根据之前的讨论这样的解中象只能摆放在边上，且四个顶点有且仅有一对相邻的顶点有象，则四个顶点的象分布方式有4种。考虑其余的 个象分布于非顶点的 个边缘格子中，注意这些象的分布与顶点中象的分布无关。我们发现这些格子可以4个为一组分为 组，每组中为任意一个非顶点边缘格与其关于棋盘中心180°旋转对称的格子以及关于棋盘两个对角线镜像对称的两个格子。可以发现每组四个格子中有且仅有互为关于棋盘中心180°旋转对称的两格子中可以摆放象，因此每组中象的分布有2种可能，且每组之间的象的摆放互不相关，于是所有非顶点边缘格子中象的摆放方式有 种，随后所有象的摆放方式即 的解的个数设为 有

如果棋盘不固定，即考虑排除旋转对称的情况那么有 种解

注意以上讨论为 的情况， 的情况显然只能放一个且只有一种摆放方式。