怎样判断微分方程的线性与非线性

可以根据微分方程是否满足线性叠加原理来判断线性与非线性。
如果一个微分方程满足线性叠加原理，即如果y1(t)和y2(t)是微分方程的解，那么k1y1(t)+k2y2(t)也是该微分方程的解，其中k1和k2是常数，则称这个微分方程为线性微分方程。
否则就是非线性微分方程。
线性微分方程可以表示为y'=p(t)y+q(t)，非线性微分方程不满足这一形式。
如此判断微分方程的线性与非线性有一定的局限性，因为只适用于某些特定形式的微分方程。
而对于一些较为复杂的微分方程，需要通过其他方法进行判断。
例如可以考虑利用变换将微分方程化为标准形式，再进行判断。

根据微分方程中的未知函数及其导数是否出现在一次项或高次项（或者说能否表示成一次或高次方程），可以判断微分方程的线性或非线性。
对于一阶微分方程y'=f(x,y)，如果f中只包含y的一次项或零次项，则属于线性微分方程；如果f中包含y的二次项或更高次项，则属于非线性微分方程。
对于高阶微分方程，也可以按照类似的方法判断是否为线性微分方程，即检查未知函数及其导数是否出现在一次项或高次项。
如果出现在一次项或高次项，则为线性微分方程，否则为非线性微分方程。
需要注意的是，即使是线性微分方程，也可能存在非线性的边值条件或初值条件，需要特别注意。

微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。根据定义，对于一个微分方程，如果其中所有的项都是线性的（即未知函数及其导数之间只有一次幂的乘积，并且没有其他非线性函数），那么这个微分方程就是线性微分方程。否则，如果某些项中包含了未知函数的高次幂或者其他非线性函数，则这个微分方程就是非线性微分方程。

具体来说，对于一般的一阶微分方程 $y'=f(x,y)$，我们可以通过以下方法简单判断它是否为线性微分方程：

1. 线性齐次微分方程：如果方程可以写成 $y'+p(x)y=0$ 的形式，那么它是一阶线性齐次微分方程，也就是最简单的线性微分方程。

2. 一阶线性非齐次微分方程：如果方程可以写成 $y'+p(x)y=q(x)$ 的形式，那么它是一阶线性非齐次微分方程。其中，$q(x)$ 是一个已知函数。

3. 高阶线性微分方程：如果微分方程可以写成 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=f(x)$ 的形式，那么它就是高阶线性微分方程。其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是已知常数。

如果一个微分方程不符合以上任何一种形式，则它就是非线性微分方程。需要注意的是，对于高阶微分方程，其线性或非线性的判断也遵循同样的原则。