过两个相交圆交点的圆系方程是怎么推导出来的

要推导出过两个相交圆的交点的圆系方程，可以按照以下步骤进行：

1. 假设有两个圆，分别表示为圆1和圆2。圆1的圆心坐标为 (x1, y1)，半径为 r1；圆2的圆心坐标为 (x2, y2)，半径为 r2。

2. 根据圆的定义，圆1上的点都满足到圆心的距离等于半径，即有方程：

(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r1^2 （1）

3. 同样地，圆2上的点满足到圆心的距离等于半径，有方程：

(x - x2)^2 + (y - y2)^2 = r2^2 （2）

4. 求解方程组（1）和（2），即找到满足两个圆的交点坐标 (x, y)。

4.1 首先，将方程（1）和（2）相减，消去变量x，可得：

(x1^2 - x2^2) - 2(x1 - x2)x + (y1^2 - y2^2) - 2(y1 - y2)y + r1^2 - r2^2 = 0

4.2 再将方程 （2）乘以 (y1 - y2)^2，得到：

(y1 - y2)^2(x - x2)^2 + (y - y2)^2(x1^2 - x2^2 - 2(x1 - x2)x + (y1^2 - y2^2) + r1^2 - r2^2) = 0

4.3 将上述等式中 (y - y2)^2 前面的系数进行整理，可得：

(x1^2 - x2^2)(y - y2)^2 - 2(x1 - x2)(y1 - y2)(y - y2)x + (y1 - y2)^2((y1 - y2)x - r1^2 + r2^2 - (y1^2 - y2^2)) = 0

5. 经过整理，得到交点圆系的方程：

(x1^2 - x2^2)(y - y2)^2 - 2(x1 - x2)(y1 - y2)(y - y2)x + (y1 - y2)^2((y1 - y2)x - r1^2 + r2^2 - (y1^2 - y2^2)) = 0

这样就推导出了过两个相交圆的交点圆系方程。请注意，当两个圆不相交或相切时，解可能变得更加复杂或不可行。