数学分析三大基本内容

单元微积分

微积分自牛顿和莱布尼茨创立之后，再经柯西、魏尔斯特拉斯等人严格化之后，已经成为完整而成熟的学科，是研究函数理论最基本的学科，尽管或多或少这套理论有它的不足，但这也不妨碍它成为现代科学的数学基础。

准确而言，实数范围内的“数学分析”是数学专业的叫法，而“分析”是对微积分相关学科的泛称。在我国，理工科所学微积分课程一般称为“高等数学”，其间还会涉及一些空间解析几何和一点常微分方程，但其微积分内容还是包含在“数学分析”课程之内，而且要求要低一些。本文还是以数学作业的“数学分析”课程内容为准。

数学分析的课程内容可大致分为三部分:单元微积分、多元微积分和级数。

单元微积分要处理的就是单元函数的“极限”、“微分”和“积分”的问题。极限是贯穿整个微积分理论的概念，对它的理解和处理是至关重要的。一般都是先从离散的数列开始，再到一般的连续函数，这里会有一系列关于极限和收敛性的结论。但重中之重是要掌握极限的定义和相关的“δ-ε”语言，脱离基本定义的学习都是空中楼阁。需要注意的是，实数理论作为极限理论的基础，非数学系一般没有太多要求，但数学系的学生是必须要掌握的。

微分和导数这一块能够更加详细分析函数的性质。首先要注意的仍是概念，特别是“微分”，学过微积分的人里有一大半无法准确说出“微分”到底是个什么概念或者和导数有什么关系。这一部分最重要的内容是中值定理(费马中值定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)和泰勒展开式，还需要掌握的就是求各种函数极限，洛必达法则作为中值定理的产物，在求极限中起着重要作用。

积分论首先的内容是求不定积分，也就是求导的逆运算，这里需要各种方法，如换元法和分部积分等。一般的定积分理论是黎曼奠定的基础，其间还有达布等人的贡献。关于定积分的定义也是很重要的，而关于可积性，和实数理论一样，数学系会着重要求。牛顿-莱布尼茨公式沟通了微分和积分的关系，是这一理论的灵魂所在。会求各种定积分也是这门课的内在要求。定积分也有很多重要的性质，特别的有两个重要的积分中值定理。但并不是所有函数都可以求积分，所以还需要判定反常积分是否收敛，这又是一大难点，需要掌握几个重要的判断准则。

多元微积分

多元微积分理论是单元微积分理论的自然延伸，但它又有着独特的地方。首先多元函数的极限和连续性变得复杂，能否交换求极限次序成为关键。可微与可导的关系也不再像单元函数那样直接，需要仔细处理。多元复合函数的求导法则也变得复杂起来，掌握链式法则是关键。同样，多元函数也有相应的中值定理和泰勒展开。之后对隐函数的处理也是一大难点。偏导数的应用，特别是对空间解析几何，充分显示了它的优越性。而多元函数微分学的一大重要内容就是求极值，这在之前是很难实现的。而求极值分为无条件极值和条件极值，无论是哪一种，判断法则要熟知。

而多元函数的积分理论相较单元函数而言就十分丰富了。首先是一般的多重积分，这里变量替换和积分区域的判断是关键。同样的，多重积分也有反常积分。接下来就是曲线积分和曲面积分，分别有两类，有比较固定积分方法。之后就导出了一般的格林公式和高斯公式，还有更具一般意义的斯托克公式，这部分内容和物理中的场论息息相关。再接下来就是含参积分，顾名思义，就是含有参数的积分，需要研究它的连续性、可微性和可积性，而它的一致收敛性尤其重要。这一部分也会涉及一些特殊函数，如Gamma函数和Beta函数。

级数

级数理论是数学中比较有特色的内容，同时级数也是研究函数性质强有力的工具。级数部分大致分为数项级数、函数项级数和傅里叶级数。对于数项级数而言，判断收敛性是首要的内容，判断法则有柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和积分判别法等。而对于任意项级数，还有阿贝尔判别法和狄利克雷判别法等。对于函数项级数而言，一致收敛性是最重要的内容，有一系列的判别法。一致收敛的重要性在于它可以判断函数项级数是否可以逐项求导或积分，这对于函数项级数的求和而言是至关重要的。而幂级数作为特殊的函数项级数，有许多良好的性质。

而傅里叶级数本来是傅里叶分析的一部分，一般的数学分析教材也会有所涉及。函数的傅里叶级数展开是容易的，但一个傅里叶级数收敛性的判断是不容易的。傅里叶级数的良好性质使得它不仅在数学上很有用，在物理等学科上也有重要作用。

相关书籍

无论你是哪所大学，用的什么教材，我想辅助的书籍都是必不可少的。好的书籍可你帮助学习，不好的书籍真的可以毁了你的学习。

首先菲赫金哥尔茨的三卷本巨著《微积分学教程》是非常值得推荐的，毕竟是大家之作，所以非常具有参考的价值。《微积分学教程》兼顾了理论和应用，内容十分丰富，称得上是博大精深。但缺点也是不可避免的，首先是篇幅过大，其次由于成书已久，观点可能有些老，所以同学们应根据自己需要去读。陈天权的《数学分析讲义》就是传说中的地狱级难度了，如果没有秒杀一般教材的能力，不建议轻易尝试此书，特别是初学者。不过课后习题还是非常不错的，认真做一做对提高水平很有好处，作者也在前言写了很多关于数学学习的想法，很有借鉴意义。另外诸如卓里奇的《数学分析》、张筑生的《数学分析新讲》、Rudin的《数学分析原理》都还不错，可以借鉴。教材没有最好的，只有适合自己的，应该根据自己的需求来选择，所以不建议一开始就看难的，这是不利于打好基础的。数学分析不乏其他好教材，但难以一一介绍了。

学数学分析我个人觉得很不错的习题书是裴礼文的《数学分析中的典型问题和方法》，这是一本大块头的综合习题书，很难全部读完。书中习题非常丰富，像一本百科全书一般，正文的题有详细解答，课后习题只有提示，而且基本上都不怎么简单。能认真做下来的话我相信数学分析水平应该算是很不错了。不过不能理解的是，书中竟然没有不定积分的题。如果有大神觉得还不够过瘾，可以试试周民强的《数学分析习题演练》，难度如同陈天权的教材一样变态，解答都是长篇大论式的，适合研究性学习。不过缺点非常明显，书中印刷错误真的很多，有些论证也有些问题，希望以后能修正。吉米多维奇名声特别大，不过个人不建议去刷，很多题都过于复杂，有些钻牛角尖的嫌疑了。另外诸如谢惠民的《数学分析习题课讲义》也很不错，有很多启发性的题型，可惜课后题没答案，需要花功夫去做，其实这也并不是什么坏事。

学结

对这一部分的学习，一般理工科是两学期，数学系更是达到了三学期，可见其重要性。

首先要重视基础，这里的基础就是概念定义等。前面也提到过，很多人学完过后，对什么是“无穷小”，什么是“微分”这些概念性问题都搞不清。更多的人是学到了它的方法，却忽视了它的思想，而真正重要的却是思想。所以认真看书是很有必要的，书上的概念定义等必须要清楚。很多老师对书上的内容喜欢走马观花，然后就让大家做题学技巧，其实这是很不负责的教学方式。另外也很重要的就是书中定理的证明，这些证明包含了一些典型方法和思想，掌握它们是很重要的，就算很长很难，也应该坚持啃下来。

再说说做题，学数学就避免不了做题。苏步青老前辈说他在学微积分时做过一万道题，虽然我们不可能实现这一宏伟目标，但适当地做题也是很有必要的。我们的数学教育体制是模仿前苏联而来的，直到现在都还有很深的痕迹。俄罗斯的数学教育非常重视训练，所以今天我们可以看到有一大堆来自俄罗斯的数学习题集，很多俄罗斯教材甚至会专门编写习题书。习题的本意是为了辅助学习，但到了我国就成喧宾夺主了。适当做题就是要根据自己的需求来取舍，更不能让做题成了学习数学的主题，花很多时间做题不如拿出一些来看更多的书，长更多见识。

最后想强调的是对内容的整体把握。整个课程的内容是相互联系的，并不是互相割裂的。很多学生学的时候就是喜欢学一部分，丢一部分，要考试的时候又匆匆复习，这是非常不利于在头脑中形成知识框架的。而缺乏整体把握的直接后果就是学完过后将知识很快遗忘，马上头脑中就空空如也了，这对之后的数学学习也是很大的损伤。所以学完之后，可以问问自己，这门课到底讲了些什么，各部分之间又有什么联系。

当然，学习数学分析(或微积分)还有许多需要注意的东西和方法。学习本来就应该是八仙过海，各显神通，不应该故步自封，不能囿于固定的套路或简单模仿别人。还是那句话，适合自己的才是最好的。