高斯赛德尔迭代法公式例题计算

高斯赛德尔迭代法是数值计算方法中的一种，用于数值求解线性方程组。其具体的迭代公式如下：

$x_i^{k+1} = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{k+1} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{k} \right), \quad i = 1,2,\cdots,n$

其中，$a_{ij}$ 是系数矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素，$x_i^k$ 是第 $k$ 次迭代后方程组的第 $i$ 个未知数的近似解，$b_i$ 是方程组的右端常数。

我们来看一个例子，求解如下的线性方程组：

$\left\{\begin{aligned}2x_1 + x_2 + x_3 &= 4 \\ x_1 +2x_2+x_3 &= 5 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 &= 6 \end{aligned}\right.$

使用高斯赛德尔迭代法，首先将方程组转化为对角占优形式：

$\left\{\begin{aligned}x_1 &= \frac{1}{2}(4 - x_2 - x_3) \\ x_2 &= \frac{1}{2}(5 - x_1 - x_3) \\ x_3 &= \frac{1}{2}(6 - x_1 - x_2) \end{aligned}\right.$

然后，选择一个初始向量 $\mathbf{x}^{(0)} = (0,0,0)^T$，按照高斯赛德尔迭代公式进行迭代计算，直到达到一定的精度要求。

下面是迭代计算的过程：

$k=0, \quad \mathbf{x}^{(0)} = (0,0,0)^T$

$k=1, \quad \begin{cases} x_1^{(1)} &= \frac{1}{2}(4-x_2^{(0)}-x_3^{(0)}) = 2 \\ x_2^{(1)} &= \frac{1}{2}(5-x_1^{(1)}-x_3^{(0)}) = \frac{3}{2} \\ x_3^{(1)} &= \frac{1}{2}(6-x_1^{(1)}-x_2^{(1)}) = \frac{7}{4}\end{cases}$

$k=2, \quad \begin{cases} x_1^{(2)} &= \frac{1}{2}(4-x_2^{(1)}-x_3^{(1)}) = \frac{5}{4} \\ x_2^{(2)} &= \frac{1}{2}(5-x_1^{(2)}-x_3^{(1)}) = 1 \\ x_3^{(2)} &= \frac{1}{2}(6-x_1^{(2)}-x_2^{(2)}) = \frac{3}{2}\end{cases}$

$k=3, \quad \begin{cases} x_1^{(3)} &= \frac{1}{2}(4-x_2^{(2)}-x_3^{(2)}) \approx 1.875 \\ x_2^{(3)} &= \frac{1}{2}(5-x_1^{(3)}-x_3^{(2)}) \approx 1.375 \\ x_3^{(3)} &= \frac{1}{2}(6-x_1^{(3)}-x_2^{(3)}) \approx 1.281\end{cases}$

$\cdots$

在经过若干次迭代之后，可以得到方程组的近似解为 $\mathbf{x}^{*} \approx (1.875, 1.375, 1.281)^T$。