一维随机变量及其分布

1.

随机变量及其分布

2.

离散型随机变量的分布函数

3.

离散型随机变量的概率函数

4.

连续型随机变量及其概率密度

首先需要介绍，分布函数和密度函数的概念，离散型和连续型都有分布函数，定义为：

P ( X ≤ k ) = F ( x ) P(X\le k) = F(x)

P(X≤k)=F(x)

称F ( x ) F(x)F(x)为分布函数，简写为d f dfdf。

对于连续型随机变量而言，F(x)还可以写成如下形式：

F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx

F(x)=∫

−∞

x

​

f(x)dx

其中f ( x ) f(x)f(x)称为连续型随机变量的概率密度函数，简写为p f pfpf.

而对于离散性随机变量，F ( x ) F(x)F(x)也可写成；

F ( x ) = Σ x = 1 k P ( X = k ) F(x)=\Sigma_{x=1}^{k}P(X=k)

F(x)=Σ

x=1

k

​

P(X=k)

其中P ( X = k ) P(X=k)P(X=k)称为离散型随机变量的密度函数。

分布函数的性质

单调非降

在某一点的概率为0

1

2

1

2

1.1离散型随机变量

1.1.1常见的离散分布

（1）均匀分布

（2）二项分布

（3）0-1分布

（4）泊松分布（poisson）

P ( X = k ) = e − λ ∗ λ k k ! P(X=k)=e^{-\lambda}*\frac{\lambda^k}{k!}

P(X=k)=e

−λ

∗

k!

λ

k

​

泊松分布中，参数λ \lambdaλ的含义是单位时间内事件发生的次数，记为X ∼ P ( λ ) X\sim P(\lambda)X∼P(λ),泊松分布的用途——可以用来进行稀有事件的计算，同时也可以在n nn比较大，p pp比较小时作为二项分布的一种近似。此时，参数λ = n ∗ p \lambda=n*pλ=n∗p

（5）几何分布

几何分布定义为，在n nn次独立伯努利实验中，事件第k kk次发生的概率

P ( X = k ) = p × ( 1 − p ) k − 1 P(X=k)=p \times (1-p)^{k-1}

P(X=k)=p×(1−p)

k−1

注意，几何分布不具有记忆性，即：

P ( X = t + s ∣ X = t ) = P ( X = t ) P(X=t+s|X=t)=P(X=t)

P(X=t+s∣X=t)=P(X=t)

（6）超几何分布（不放回抽样）

1.2连续型随机变量

（1）均匀分布——uniform df

其密度函数为

f ( x ) = { 1 b − a a < x < b 0 x ≤ a o r x ≥ b f(x)=\left \{

1b−aa<x<b0x≤aorx≥b

1b−aa<x<b0x≤aorx≥b

\right.

f(x)=

⎩

⎨

⎧

​

​

b−a

1

​

a<x<b

0x≤aorx≥b

​

​

若定义示性函数为

I ( a , b ) x = { 1 a < x < b 0 x ≤ a o r x ≥ b I_{(a,b)}^{x} = \left \{

1a<x<b0x≤aorx≥b

1a<x<b0x≤aorx≥b

\right.

I

(a,b)

x

​

={

​

1a<x<b

0x≤aorx≥b

​

​

则均匀分布的密度函数可写为

f ( x ) = 1 b − a × I ( a , b ) x f(x)=\frac{1}{b-a}\times I_{(a,b)}^x

f(x)=

b−a

1

​

×I

(a,b)

x

​

(2)指数分布

密度函数为

f ( x ) = λ × e − λ x × I ( 0 , ∞ ) x f(x)=\lambda\times e^{-\lambda x}\times I_{(0,\infty)}^{x}

f(x)=λ×e

−λx

×I

(0,∞)

x

​

分布函数为

F ( x ) = ( 1 − e − λ x ) × I ( 0 , ∞ ) x F(x)=(1-e^{-\lambda x})\times I_{(0,\infty)}^{x}

F(x)=(1−e

−λx

)×I

(0,∞)

x

​

注意：指数分布也无记忆性

（3）正态分布 normal

其密度函数为

f ( x ) = 1 2 π × σ × e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times\sigma}\times e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

f(x)=

2π

​

×σ

1

​

×e

−

2σ

2

(x−μ)

2

​

记为X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ

2

)

特别的，当μ = 0 , σ = 1 \mu = 0,\sigma = 1μ=0,σ=1时，称为标准正态分布