构造法的六种方法

构造法是一种通过构造具体例子、模型、辅助问题等方法来解决问题的策略。其中，六种常见的构造方法包括：

1）直接构造法，即通过直接构造例子来证明问题的正确性；

2）递归构造法，利用问题的本身特性，递归地构造出解决方案；

3）反证法，通过推理的反向思维，假设问题的对立面为真，推出矛盾，证明原问题的正确性；

4）数学归纳法，通过证明基础情况与递推关系的正确性来证明问题的正确性；

5）归约法，将一个复杂问题转化为一个已知解决方法适用的简单问题；

6）分割法，将复杂问题分割成若干独立的部分，分别解决后再合并。这些构造方法在解决各种问题中都具有广泛的应用。

构造法：在几何图形最为常见，如构造手拉手、一线三角相似(全等)、构造三垂直型全等……，在代数运算或证明中也极为常见。

例1.已知a、b、c为实数，且4a−4b+c>0，a+2b+c<0，请说明b²>ac

分析：设y=ax²+2bx+c(a≠0)

当x=−2时，y=4a−4b+c>0

当x=1时，y=a+2b+c<0

∴方程ax²+2bx+c=0，有两个不同的根

∴△=4b²−4ac>0

∴b²>ac

例2.已知实数a，b分别满足方程1/a²+1/a−3=0和b²+b−3=0，且ab≠1，求(a²b²+1)/a²的值。

分析：两方程对应系数相同，可以构造一元二次方程再运用韦达定理求解

∵ab≠1，∴1/a≠b

令：1/a和b是x²+x−3=0的两个根

∴根据韦达定理：1/a+b=−1，1/a.b=−3

∴(a²b²+1)/a²=b²+1/a²

=(b+1/a)²−2a.1/a

=(−1)²−2×(−3)=7

例3.若b≠0，ab≠1，且有5a²+2021a+9=0及9b²+2021b+5=0，求a/b的值。

分析：可将两方程对应系数化一致，便可构造一元二次方程

∵b≠0

∴将9b²+2021b+5=0两边同时除以b²得

5(1/b)²+2021.(1/b)+9=0

∵ab≠1，即a≠1/b，此时两方程对应系数相同，可以构造一元二次方程

∴令a，1/b是5x²+2021x+9=0两个根

∴根据韦达定理：a.1/b=9/5

即：a/b=9/5。