初一有理数单元的解题技巧和数学思想方法方面

有理数知识点小结

一、正数和负数的有关概念

（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

（2）正数和负数表示相反意义的量。比如：

零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ （别忘加单位）

(3) 0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

0不在仅仅表示没有，也表示实实在在的实物，比如0摄氏度，海拔0米。

二、有理数的概念及分类

有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：

注意：1.引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。2.有限小数和无限循环小数都是分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

三、有关数轴

⒈数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。（注意移动方向）

数轴经常和绝对值一起出题，特别是判断绝对值里面的符号。对此，我们一般用赋值法，就是数轴上的字母，根据实际情况给他赋一个具体的数，这样学生在解题时会感觉容易很多。

四、绝对值与相反数和倒数

（1）相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是

-（-5），化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a 的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简 （同号为正，异号为负）

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

（2）绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简 （先判断绝对值号内是正是负，）

①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

（3）倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。

注意：①0没有倒数；若a、b互为倒数，则a×b=1；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的符号性质）；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

绝对值、相反数和倒数三者经常会和乘法的分配率出现一些综合题，在这里要特别有整体意思。（互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1.要有整体代换的思想。）

本身之迷

①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）

③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0

⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0

⑦相反数是它本身的数是0

数之最

①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0

④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0

⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数

五、有理数加法 （先定符号，再定大小）

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零．

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：

⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a

六.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。

七.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

八、有理数的乘法（定积的符号，在绝对值相乘）

1.有理数的乘法法则

法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：任何数同0相乘，都得0；

法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba

⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).

⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac

九.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0

十.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

总结：积的符号的确定

几个有理数相乘，因数都不为0 时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负；

当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。

十一、有理数的乘方

（1）求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.

一般地，表示n个a相乘记作，读作：a的n次方，表示n个a相乘；其中，a是底数，n是指数，称为幂。

（2）表示： 个相乘。叫做底数，叫做指数，计算的结果叫做：幂

当为正数时，为任何数，计算结果都是正数

当为负数，是奇数时，结果是负数；是偶数是，结果是正数

当底数是负数或分数时，必须把底数加上括号

注意：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 。

计算：

（3）正数的任何次幂都是正数.

负数的奇数次幂是负数,

负数的偶数次幂是正数.

（4）一个数的平方为它本身,这个数是0和1；

一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。

十二、有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；有乘除法时先统一成乘法。

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

十三、科学计数法

一般情况下，把大于10的数表示成（n为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了a的范围，(1≤|a|＜10)，这种记数方法叫做科学记数法。

十四、近似数精确度有两种表示方法：精确到十分位也可表示成精确到0.1

用四舍五入法根据精确度取近似值时,先按要求找到相应的数位,再将紧跟在它后面的一位数字四舍五入.

带有记数单位的近似数,在确定精确到哪一位时要分两种情况:若记数单位前面的数是整数,则这个近似数就精确到“记数单位”位;若记数单位前面是小数,要先将这个近似数还原成原来的数,再看最后一位在原数中的位置.如近似数13亿,就精确到亿位;近似数2.43万,就精确到百位.用科学记数法形式表示的近似数, 在确定精确到哪一位时,同样要把它还原成原数,再从左到右看中的最后一位在原数的什么位置上,就说这个近似数精确到哪一位.如还原成原数为369.0,最后一位“0”在原数的十分位上,所以精确到十分位.

总结：比较两个有理数大小的方法有：

（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；

（3） 做差法：a-b>0 ⇔a>b;

（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.

（5）利用绝对值比较大小

两个正数比较：绝对值大的那个数大；

两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。

典例分析：

出租车司机小石某天下午营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：

＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.

（1） 将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是多少千米？

（2） 若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共多少升？

分析：（1）求已知10个数的和，即得小石距下午出发地点的距离；

（2）要求耗油量，需求出汽车一共走的路程，与所行的方向无关，即求出10个数的绝对值的和，然后乘以a升即可。

注意两问的区别。

解：(1)（＋15）＋（－3）＋（＋14）＋（－11）＋（＋10）＋（－12）＋（＋4）＋（－15）＋（＋16）＋（－18）

=（15＋14＋10＋4＋16）＋【（－3）＋（－11）＋（－12）＋（－15）＋（－18）】

=59＋（－59）

=0（千米）

（2）

=118（千米）

118×a=118a(升)

答：（1）将最后一名乘客送到目的地时，小石距下午出发地点的距离是0千米，即回到出发地点；

（2）若汽车耗油量为a升/千米，这天下午汽车耗油共118a升。

典例分析：

在有关乘方的计算中，最易出现错误的是“符号问题”，解决问题的关键是准确理解幂的概念，头脑时刻保持清醒，不要随意的增减和变换符号，更不要“跳步”，严格按照运算法则进行。

解：

典例分析：

1、用科学记数法表示56420000万.

分析：需要注意以下两点：①在一些数据中会出现“万、亿”需引起重视；②科学记数法有其表示的标准形式：，其中，n为正整数。

解：56420000万=564200000000=

典例分析：

（1） 与原点距离等于4的点有几个？其表示的数是什么？

（2） 在数轴上点A表示的数是-3，与点A相距两个单位的点表示的数是什么？

分析：对于初学者，我们可以画出数轴，从数轴上观察，与原点距离等于4的点有两个，它们分别位于原点的两侧，它们所表示的数是+4和-4.千万不要忽略了原点左边的点即表示-4的点。这样第（2）问迎刃而解。

解：（1）与原点距离等于4的点有两个，它们表示的数是+4和-4.

（2）在数轴上点A表示的数是-3，与点A相距两个单位的点表示的数是-1和-5.

3、-（-3）的相反数是______。（解析：先化简-（-3），再去求出计算结果的相反数）

典例分析：

已知，求x,y的值。

分析：此题考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即。

所以，而两个非负数之和为0，则这两个数均为0，所以可求出x,y的值。

解：∵ 又

∴，即

∴

典例分析：

如果规定△表示一种运算，且a△b=，求：3△（4△）的值.