分块矩阵的乘法规则怎么证明

假设有两个分块矩阵$A$和$B$，它们的维度为$n\times n$，每个矩阵被分成$k\times k$个子矩阵，即$A=(A_{ij})_{k\times k}$和$B=(B_{ij})_{k\times k}$。

我们将$A$和$B$的乘积矩阵记为$C=AB$，其中$C$也被分成$k\times k$个子矩阵，即$C=(C_{ij})_{k\times k}$。我们假设每个子矩阵的维度为$n/k$，则有：

$$C_{ij}=\sum_{l=1}^{k}A_{il}B_{lj}$$

我们需要证明的是，这个规则计算得到的$C$确实是矩阵$A$和$B$的乘积，即$C=AB$。

设$e_i$是一个$n$维的列向量，其中在第$i$个位置上是1，其他位置上都是0，我们将$k$个这样的向量排成一行组成一个$k\times n$的矩阵$E$，则有：

$$E=\begin{pmatrix}e_1\\e_2\\\vdots\\e_k\end{pmatrix}$$

则$C=AB$可以被写成下面的形式：

$$C=[A_1,A_2,\cdots,A_k]\begin{pmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_k\\B_1&B_2&\cdots&B_k\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\B_1&B_2&\cdots&B_k\end{pmatrix}$$

其中$A_i$和$B_i$分别表示$A$和$B$的第$i$列和第$i$行的子矩阵，$[A_1,A_2,\cdots,A_k]$是将这些子矩阵按列拼接得到的矩阵。这个式子实际上是将$A$转化为一个$n\times kn$的矩阵，将$B$转化为一个$kn\times n$的矩阵，然后按照矩阵乘法的规则进行计算。

我们将这个式子展开：

$$C=\begin{pmatrix}A_1&B_2&B_3&\cdots&B_k\\A_2&B_2&B_3&\cdots&B_k\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_k&B_2&B_3&\cdots&B_k\end{pmatrix}$$

可以发现，$C$的每个子矩阵$C_{ij}$都是由$A_i$和$B_j$的乘积得到的，这就是我们需要证明的规则。

因此，根据上面的推导，我们得到了分块矩阵的乘法规则。