六种幂函数的图像及性质

第一，奇偶性，当指数是奇数的时候，幂函数是奇函数，当指数是偶数的时候，幂函数是偶函数。

第二，单调性，当指数是正数的时候，幂函数单调递增，当指数是负数的时候，幂函数单调递减，当指数为0的时候，是一条水平的直线。

1.正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）；

b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

2.负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）；

b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。

c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

3.零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

二、幂函数图像及性质

性质：当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大等。

  1、定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

2、性质：α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；

α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减。

 幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．

①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； 

②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;

③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．

④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．

⑤当a=0时， 表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

三、幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：

把幂函数 的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数 的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，

 (2)图象的形状：

 ①若a>0，则幂函数 的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．

 ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

四、幂函数的单调性和奇偶性：

对于幂函数 （a∈R)．

(1)单调性

当a>0时，函数 在第一象限内是增函数；当a<0时，函数 在第一象限内是减函数．

(2)奇偶性

①当a为整数时，

若a为偶数，则 是偶函数；若a为奇数，则 是奇函数。

②当n为分数，即 （p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时， 为奇函数；分子p为偶数时， 为偶函数， 若分母q为偶数，则 为非奇非偶函数．