伴随矩阵秩的公式

伴随矩阵的秩公式推导是|A||A*|=|A|^n， 则|A*|=|A|^(n-1)。

1、主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式。非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y)x，y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的。

2、一个矩阵中行秩与列秩是相等的，矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

3、伴随矩阵的秩与原矩阵的秩有一个定量关系是原矩阵满秩，伴随矩阵也会是满秩，原矩阵的秩等于n-1，伴随矩阵的秩就是1，原矩阵的秩小于n-1，伴随矩阵的秩就是0，即伴随矩阵是个零矩阵。

设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：

r(A*) = n, 若r(A)=n

r(A*)=1, 若r(A)=n-1；

r(A*)=0，若r(A)<n-1;

证明如下所示：

若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；

若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;

若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：

AA*=|A|E=0

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.