偏导的含义

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

偏导数指的是因变量对于某一个自变量的变化率，可以看做是将其他自变量视作常数后，对这个一元函数求导，也就是图像在在某一平面上的变化率（这个平面是其他自变量为常数截出来的），通过梯度这个概念，我们能够展现出函数值随着每一个自变量的变化率，可以看到多元函数沿着某一方向的变化速率。

全微分可以理解为一元函数中微分的推广，意义也有相近的地方。在微积分发展的早期，函数的微分被视作是一个微小的增量，数学家们引入了无穷小的概念却不能在逻辑上达到完满的状态。在极限理论中，我们舍弃了无穷小或者说增量的概念，微分在极限理论下，实际上是一个函数，它是可微函数线性主要部分的近似。也即是每一个自变量的该变量趋于0时，函数值改变量的线性主要部分（也是最低阶的无穷小）。

函数可偏导指的是对于任意自变量均可偏导，这是可微的必要条件，但是如果偏导数连续，我们就可以得到函数必然可微的结论，这是可微的充分非必要条件。